Новые концепции и проблемы преподавания математики

Готовясь к семинару, я перечитала статью знаменитого геометра И.Ф. Шарыгина «Нужна ли школе 21 века геометрия?», познакомилась со статьей Зеленского А.С. и Панфилова И.И. «Некоторые проблемы преподавания геометрии в профильных классах, работающих в системе «ШКОЛА-ВУЗ», изучила методические письма о результатах ЕГЭ за последние годы. Попробую кратко изложить содержание этих документов. Школьный курс геометрии всегда был и остаётся одной из проблемных «точек» методики преподавания математики. В разное время высказывались различные суждения по поводу изучения геометрии, и её места в системе школьного образования. Несомненно, то, что развитие логики и развитие интуиции, которые мы наблюдаем в геометрии – делают эту дисциплину, уникальной и необходимой для изучения. Главной целью изучения геометрии, конечно, является знание. Но следует признать, что эта цель по отношению к геометрии второстепенна, поскольку большинство школьных геометрических знаний не востребовано ни в практической жизни человека, ни даже в научной деятельности. Более важно, что геометрия есть феномен общечеловеческой культуры. Некоторые теоремы геометрии являются одними из древнейших памятников мировой культуры. Человек не может по-настоящему развиться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию. Геометрия — один из важнейших предметов, причем не только среди предметов математического цикла, но и вообще среди всех школьных предметов. Какой же должна быть геометрия? Известный геометр И.Ф. Шарыгин шутит: «Геометрия должна быть геометрической» (а не аналитической или алгебраической). Это означает, что главным действующим лицом Геометрии должна быть фигура (на плоскости треугольник и окружность), а главным средством обучения рисунок, картинка. Отечественной школой накоплен уникальный опыт преподавания геометрии. Учебник по геометрии А.П.Киселева под редакцией Н.А.Глаголева на протяжении многих десятилетий оставался образцом строгости, четкости и доступности изложения геометрии. Конечно, этот и другие учебники геометрии прошлого века уже не вполне отвечают современным требованиям к обучению. Задача обновления школьного курса геометрии состоит в том, чтобы, опираясь на достигнутый отечественной школой уровень геометрического образования, сделать его современным, интересным, учитывающим склонности и способности каждого ученика. И здесь очень многое зависит от того по какому учебнику преподается геометрия. Учебник по геометрии не должен сводиться лишь к выстраиванию геометрической теории. Авторы всех школьных учебников стараются сделать изложение материала максимально доказательным. Это, конечно, правильно. Однако красоту и стройность теории способны оценить лишь немногие. У большинства учащихся эта тотальная доказательность как минимум отбивает интерес к обучению, а наиболее слабые очень скоро перестают воспринимать предмет. Процесс изучения Геометрии включает самые разнообразные виды деятельности. И в первую очередь — решение задач. Задача — это не только умения, это и элемент знания. В решении задач есть определенный азарт. Только через этот процесс учитель, ведущий занятия, может удержать интерес к предмету в классе с различным уровнем учащихся. В особенности если учитель будет предлагать различным категориям учащихся различные по сложности задачи. Количество «плененных» красотой планиметрии точно возрастет – это проверено. Ученик должен ознакомиться с определенным набором достаточно трудных геометрических задач, освоить некоторые геометрические методы, научиться решать задачи, следуя известным образцам. Кстати, именно в этом и состоит, по сути, процесс обучения алгебре. Мы показываем ученику методы, приемы, сообщаем алгоритмы, которые трудно, почти невозможно найти самостоятельно. В Геометрии, в отличие от Алгебры, подобных алгоритмов, очень мало, почти нет. Почти каждая задача по Геометрии является нестандартной. Поэтому при обучении возрастает значение опорных задач, сообщающих полезный факт, либо иллюстрирующих метод или прием. Шарыгин считает недопустимым предлагать задачи на минимальном уровне, на тройку. Задача должна быть нормальной задачей, а оценивать мы должны, сколь далеко ученик ушел от полного нуля и приблизился к полному решению. (Кстати, именно так обычно оцениваются задачи на олимпиадах и вступительных экзаменах.) Необходимо дать возможность учителю самостоятельно выбирать программу и скорость изложения материала, в зависимости от того, с каким контингентом учащихся он работает. Для этого методистам необходимо разработать несколько вариантов программ, с различной степенью подробности излагающих разные разделы планиметрии, компенсируя при этом сэкономленное время решением развивающих геометрических задач. Возможностью построения авторской программы, учитывающей все эти аспекты, должен быть наделен любой творчески мыслящий учитель математики. Возможность такая есть, например на основе авторской программы Атанасяна каждый из нас не только может, но и должен разрабатывать рабочую программу, подстроенную под свой контингент учащихся. Сегодняшнее состояние общества и математического образования в школе не является таким благоприятным, как раньше. Если провести объективный срез знаний современного выпускника 9-го класса, изучавшего математику в «обычной» школе, картина получится удручающей. Даже хорошие ученики (те, которые в школе имеют по геометрии только «4» и «5»), как правило, «в совершенстве» знают лишь теорему Пифагора, а, например, уже подобие видят только в треугольниках с параллельными сторонами. Решение задач ими ведется без какой-либо определенной стратегии, простым перебором формул в надежде на то, что какая-нибудь из них «выдаст» результат. В геометрической подготовке выпускников имеются пробелы в развитии пространственных представлений, умении правильно изобразить геометрические фигуры, провести дополнительные построения, провести вычисления, применить полученные знания к решению практических задач. Например, вызывает трудности у половины выпускников следующее задание на решение прямоугольных треугольников. Плохо справляются выпускники и с геометрическими задачами курса старшей школы. Самостоятельно могут решить геометрическую задачу менее 40% учащихся старших классов. К геометрическим задачам ЕГЭ в 2009 году приступало менее 20% экзаменуемых.

 Включение в контрольно- измерительные материалы ЕГЭ и ГИА геометрических заданий базового уровня нацелено на восстановление преподавания геометрии, для привлечения максимума внимания к геометрическому образованию. Результаты ЕГЭ в 2010 году это подтвердили и позволили сделать вывод о том, что из-за отсутствия контроля геометрических знаний на базовом уровне во многих образовательных учреждениях часы на изучение геометрии реально использовались для повторения и изучения алгебраического материала. 

 При преподавании геометрии в старших классах необходимо, прежде всего, уделять внимание формированию базовых знаний курса стереометрии (угол между прямыми в пространстве, угол между прямой и плоскостью, угол между плоскостями, многогранники и т.д.). Одновременно необходимо находить возможность восстанавливать базовые знания курса планиметрии (прямоугольный треугольник, решение треугольников, четырехугольники и т.д.). При изучении геометрии необходимо повышать наглядность преподавания, больше уделять внимания вопросам изображения геометрических фигур, формированию конструктивных умений и навыков, применению геометрических знаний к решению практических задач. По мнению Зеленского и Панфилова, курс планиметрии требует увеличения нагрузки в части решения задач с одновременным разумным сокращением доказательной базы. Еще более логичным было бы изменение школьной программы и стандартов: перенесение изучения части разделов планиметрии на 10-11 класс (с одновременным переносом каких-то разделов стереометрии на 9-й класс). Тогда в старшей школе была бы возможность гораздо более эффективного углубленного изучения всего курса геометрии. (В новых учебниках Атанасяна это уже учтено.)

Особо следует сказать о взаимоотношениях между геометрией и компьютером. Компьютер является очень полезным инструментом в геометрических исследованиях. С его помощью можно экспериментально обнаруживать новые интересные геометрические факты. Человеку же остается важнейшая роль — эти факты доказывать (всего лишь!). При этом в геометрическую деятельность с использованием компьютеров могут включаться школьники и сильные и слабые (с точки зрения математики), технари и гуманитарии. И получается, что первонаука, которой является геометрия, получила новый толчок к развитию, как образовательный предмет и как наука, благодаря самым современным компьютерным технологиям. Немного ещё прорекламирую программу «Живая математика». «Живая математика» располагает богатыми технологическими возможностями. У этой программы простой и дружественный интерфейс, с помощью панели инструментов (Готовальни) и пунктов Меню можно построить любую геометрическую фигуру. Геометрические фигуры можно оживлять, перемещать, изменять по размерам, вычислять их площади, периметры, значения углов и выполнять другие вычисления. Рисунки можно сопровождать текстом, для оформления работы есть возможность вставлять нужные картинки и фото. Таким образом, в виртуальной среде «Живая математика» можно выполнять все необходимые этапы исследовательской работы, можно использовать для решения программных геометрических задач. Конечно, освоение новых компьютерных программ требует много времени. А время такой ресурс, которого всегда не хватает. Скажите, что у вас занимает больше времени: подготовка к уроку алгебры или подготовка к уроку геометрии? Почему? Как вы думаете? Опытному учителю достаточно бегло прочитать условие алгебраической задачи, чтобы выяснить к какой теме она относится, какие навыки и умения формируются при её решении. С геометрическими задачами сложнее. Одного беглого прочтения недостаточно. Например, скажите в каком классе, после изучения какой темы можно дать ученикам такую задачу: Стороны треугольника 11,13 и 12. Найдите все медианы треугольника. (после п.89 применение метода координат к решению задач, геометрия 9 класс) Дело осложняется ещё тем, что любую геометрическую задачу можно решить несколькими способами.

Как облегчить наш труд? Каждому учителю нужно иметь тематические подборки задач, желательно с решениями, с указаниями уровня сложности. Где можно найти задачи? В литературе по геометрии. Подборка литературы по геометрии для школьников
Несколько книг, посвященных алгоритмическим подходам в геометрии:

 В. В. Амелькин, Т. И. Рабцевич, В. Л. Тимохович Школьная геометрия в чертежах и формулах. - Минск, Красико-Принт, 2008. - 80 с. ISBN 978-985-405-464-3
Пособие содержит тщательно отобранный и систематизированный теоретический материал, который поможет учащимся не только yглубить свои знания, проверить и закрепить практические навыки при систематическом изучении геометрии, но и предоставляет xopoшую возможность для эффективной подготовки как к выпускному и конкурсному экзаменам, так и к централизованному тестированию.
Предназначено школьникам, абитуриентам, учителям.
Габович И. Г. Алгоритмический подход к решению геометрических задач: Кн. для учащихся.— М.: Просвещение: АО «Учеб. лит.», 1996.—192 с: ил.—ISBN 5-09-005121-6.
В книге представлен один из эффективных методов решения геометрических задач, основанный на использовании так называемых базисных задач. Приведены решения основных базисных задач планиметрии, стереометрии, векторной алгебры и др. К каждой из них подобраны соответствующие задачи, которые решаются с ее помощью или с помощью других, рассмотренных ранее (их решения приводятся), и задачи для самостоятельного решения. Базисные задачи, приведенные в данной книге (они обозначены кружочками, например 1.1°, 2.1° и т. д. и выделены цветным шрифтом), отбирались автором в процессе его многолетней педагогической деятельности.
Для учащихся средней общеобразовательной школы и учителей математики.
Зеленяк О. П. Решение задач по планиметрии. Технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Моделирование в среде Turbo Pascal /О. П. Зеленяк. — Киев, Москва: ДиаСофтЮП, ДМК Пресс, 2008. — 336 с. ISBN 5-93772-189-6
В книге предлагается четкая, проверенная многолетней практикой система обучения решению задач по планиметрии – эффективная технология алгоритмического подхода на основе задач-теорем. Все задачи снабжены решениями, которые сравниваются, анализируются и обобщаются. Особое внимание уделено культуре чертежей и вычислений, логике и способам решений, отбору и систематизации задач.
Отличительная особенность пособия – наличие материалов, предназначенных для интегрированного изучения математики и информатики.
Куланин Евгений Дмитриевич, Федин Сергей Николаевич Геометрия треугольника в задачах: Учебное пособие. Изд. 2-е, испр. и доп. — М: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009. — 208 с.
Книга представляет собой переиздание хорошо известного любителям математики сборника задач, ставшего уже библиографической редкостью. В нем собрано несколько сотен наиболее интересных и полезных задач, относящихся к геометрии треугольника, разного уровня сложности — среди них есть как классические, так и составленные в последние годы. Существенная их часть приводится с решениями или указаниями.
Книга, несомненно, будет полезна старшеклассникам и преподавателям гимназий и физико-математических спецшкол, а также всем ценителям и знатокам элементарной геометрии.
Никулин А.В.,Кукуш А.Г.,Татаренко Ю.С. Планиметрия. Геометрия на плоскости: Уч. пос. / Под общ. ред. Ю. С. Татаренко. — Висагинас: Альфа, 1998. — 592 с. — (Библиотека школьника). ISBN 9986-582-54-7.
В книге содержится подробный теоретический и практический материал по планиметрии за курс средней школы. По сравнению с другими учебными пособиями, данное пособие включает значительно больше теоретического материала, оно содержит более 200 теорем. Традиционные вопросы, изучаемые в школьном курсе, рассматриваются более подробно, что способствует повышению квалификации учителя и углублению знаний учащихся. Авторы стремились изложить материал так, чтобы его могли использовать в учебной работе как учащиеся, так и учителя.
В книге содержится интересный материал для факультативных занятий, в частности: группы движений, группы симметрии фигур, магические квадраты и треугольники, геометрия масс, полярные координаты, спирали, золотое сечение.
В каждой главе помещены примеры с решениями, иллюстрирующие применение теоретического материала, а также задачи для самостоятельного решения.
Пособие рассчитано для учащихся школ, абитуриентов, студентов младших курсов педагогических университетов, преподавателей.
Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Учимся решать задачи по геометрии. Учеб.-метод. пособие. — К.: «Магистр-S», 1996. — 256 с. ISBN 966-557-011-0
Пособие, написанное в форме конспекта опытного учителя, содержит более 1000 задач с большим числом примеров, их решениями и разбором. На большом и разнообразном материале авторам удалось систематизировать по методам решений основные типы задач школьной планиметрии. В основе систематизации также лежит принцип от простого к сложному.
Содержание:
Глава I. Геометрия на готовых чертежах
Глава II. Метод ключевых задач
Глава III. Избранные методы и приемы
Глава IV. Многовариантные геометрические задачи
Последняя глава особенно актуальна в связи с задачей С4 ЕЭ-2010.
Для учащихся 7-11 классов, абитуриентов, преподавателей математики.
Фискович Т. Т. Геометрия без репетитора.- УНЦ ДО МГУ,1998. - 152 с. ISBN: 5-88800-076-0
В пособии представлен минимум учебных задач и специально организованный теоретический материал, что позволяет увидеть перспективу применения общего метода к решению любой задачи. Пособие адресовано абитуриентам и предназначено для систематизации и усовершенствования имеющихся геометрических знаний.
Севрюков П. Ф., Смоляков А.Н. Векторы и координаты в решении задач школьного курса стереометрии : учебное пособие / П. Ф. Севрюков, А. Н. Смоляков. — М.: Илекса; НИИ Школьных технологий ; Ставрополь: Сервисшкола, 2008. — 164 с. — (Серия «Изучение сложных тем школьного курса математики»). -
ISBN 978-5-93078-592-0
В данном пособии изложены методы решения стереометрических задач, основанные на применении векторов и метода координат. Такие задачи включены в варианты вступительных экзаменов в различные вузы, Единого государственного экзамена по математике, учебники для профильной школы и классов с углубленным изучением математики.
Предложены более ста тренировочных упражнений с ответами и комментариями; наиболее трудные упражнения сопровождаются вариантами решений.
Смирнов В. А. Геометрия. Планиметрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко.— М.: МЦНМО, 2009. — 256 с. — (Готовимся к ЕГЭ). ISBN 978-5-94057-552-8
Смирнов В. А. Геометрия. Стереометрия: Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под ред. А.Л.Семёнова, И.В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2009. — 272 с. — (Готовимся к ЕГЭ). ISBN 978-5-94057-553-5
Пособия, выпущенные под редакцией А.Л.Семенова и И.В.Ященко, предназначены для тех, кто хочет научиться решать задачи по геометрии и подготовиться к ЕГЭ по математике.
Они содержат более семисот задач, решение которых способствует выработке вычислительных навыков, развивает пространственные представления учащихся. Все задачи сопровождаются рисунками. В начале каждого раздела помещен необходимый теоретический материал. В конце даны ответы ко всем задачам.
Хорошие подборки книг и задач по геометрии можно найти на следующих ресурсах:
Интернет-библиотека МЦНМО
http://www.math.ru/
http://www.problems.ru/
http://www.mccme.ru/ - Раздел Задачи по геометрии

О геометрических заданиях ЕГЭ от СМИРНОВЫХ

Особенности геометрических задач, отбираемых для включения в ЕГЭ по математике. 1. Повышение роли наглядности. К каждой задаче дается рисунок, позволяющий лучше понять условие, представить соответствующую геометрическую ситуацию, наметить план решения, при необходимости провести дополнительные построения и вычисления. 2. Повышение роли конструктивных умений учащихся. Включение в часть С задач, в которых требуется не только выполнить вычисления, но и провести построения (изображения) искомых геометрических фигур. 3. Повышение роли геометрических задач с практической направленностью. Включение задач на нахождение геометрических величин для фигур, нарисованных на клетчатой бумаге, задач на нахождение объемов и площадей поверхностей пространственных фигур с элементами практической направленности. Здесь представлены рабочие тетради для подготовки к ЕГЭ по геометрии, разработанные МИОО и изданные издательством МЦНМО В.А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В4. Рабочая тетрадь. Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. В.А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В6. Рабочая тетрадь. Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. В.А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задача В9. Рабочая тетрадь. Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. В.А. Смирнов. ЕГЭ 2010. Математика. Задача С2. Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2010. Изданы аналогичные пособия для подготовки к ЕГЭ 2011 года. Кроме этого имеются следующие пособия для подготовки к ЕГЭ. В.А. Смирнов. Геометрия. Планиметрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко. – М.: МЦНМО, 2009. – 256 с. В.А. Смирнов. Геометрия. Стереометрия. Пособие для подготовки к ЕГЭ / Под редакцией И.В. Ященко и А.В. Семенова. – М.: МЦНМО, 2009. – 272 с. И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия. Расстояния и углы в пространстве. – М.: Экзамен, 2009. – 158 с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов») И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия. Вписанные и описанные фигуры в пространстве. – М.: Экзамен, 2009. – 158 с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов») И.М. Смирнова, В.А. Смирнов. Геометрия. Объемы и площади поверхностей пространственных фигур. – М.: Экзамен, 2009. – 157 с. (Серия «ЕГЭ. 100 баллов») На сайте издательства Мнемозина www.mnemozina.ru имеются вебинары, посвященные подготовке к ЕГЭ по геометрии.