Выпускной экзамен по математике в инженерном классе является одновременно и вступительным экзаменом в Ярославский государственный технический университет. В вариантах вступительных экзаменов встречаются задачи на проценты. Задачи на проценты часто вызывают затруднения у учащихся. Причина, на мой взгляд, в том, что тема "Проценты" изучается в младших классах, причем непродолжительно, а в старших классах к этой теме совсем не возвращаются. Тем не менее, учеников нужно надо подготовить к решению задач на проценты. Поэтому работая в инженерном классе, я рассмотрела наиболее часто встречающиеся виды задач. Все задачи по их видам записываются у учеников в тетради-справочнике. Я подготовила несколько рассчетных работ по теме "Проценты". Кроме того, использую творческие домашние задания, когда ученикам предлагается придумать свои задачи на проценты. Некоторые пробуют даже писать стихи о процентах. Предложенные задачи можно найти в вариантах вступительного экзамена по математике в технический университет за прошлые годы, а также из сборника задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави.

Различные виды задач на проценты

Определение процента от числа

Определение числа по известной его части, выраженной в процентах

После рассмотрения этих простейших задач можно рассмотреть задачи типа:

Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?

Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

При решении задач на проценты приходится сталкиваться с понятием "процентное содержание", "концентрация", "%-й раствор". Поэтому предлагаю задачи на эти понятия.

Процентное содержание. Процентный раствор.

Сколько кг соли в 10 кг соленой воды, если процентное содержание соли 15%.

Процентное содержание вещества в растворе (например, 15%), иногда называют %-м раствором, например, 15%-й раствор соли.

Сплав содержит 10 кг олова и 15 кг цинка. Каково процентное содержание олова и цинка в сплаве?

Процентное содержание вещества в сплаве - это часть, которую составляет вес данного вещества от веса всего сплава.

Концентрация.

Если концентрация вещества в соединении по массе составляет р%, то это означает, что масса этого вещества составляет р% от массы всего соединения.

Концентрация серебра в сплаве 300 г составляет 87%. Это означает, что чистого серебра в сплаве 261 г.

В этом примере концентрация вещества выражена в процентах.

Отношения объема чистой компоненты в растворе ко всему объему смеси называется объемной концентрацией этой компоненты.

Сумма концентраций всех компонент, составляющих смесь, равна 1. В этом случае концентрация - безразмерная величина.

Если известно процентное содержание вещества, то его концентрация находится по формуле:

к - концентрация вещества;
р - процентное содержание вещества (в процентах).

Дополнительные задачи.

1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Сколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

Пусть к 20 кг первого сплава нужно добавить х кг второго сплава. Тогда получим (20 + х) кг нового сплава. В 20 кг первого сплава содержится 0,4 ^. 20 = 8 (кг) серебра, в х кг второго сплава содержится 0,2х кг серебра, а в (20+х) кг нового сплава содержится 0,32 ^. (20+х) кг серебра. Составим уравнение:

13 1/3 кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы получить сплав, содержащий 32% серебра.

2. К 15 л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?

Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х) л, в котором содержиться 0,8 ^. (15 + х) л соли. В 15 л 10%-ного раствора содержится 15 ^. 0,1 = 1,5 (л) соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0,05х (л) соли. Составим уравнение.

добавили 10 л 5%-ного раствора.

Расчетные задачи по теме "Проценты".

1. Найти 14% от 84.

2. Найти число, если 12% его составляют 9,03.

3. Цена товара 64 руб. После снижения цен товар стал стоить 57 руб. На сколько процентов снижена цена?

4. При продаже товара за 1548 руб. получено 20% прибыли. Определить себестоимость товара.

5. Свежие фрукты содержали 72%, а сухие - 20%. Сколько сухих фруктов получится из 20 кг свежих?

6. Кусок сплава меди и олова весом 12 кг содержит 45% меди. Сколько олова надо добавить к этому куску, чтобы в новом сплаве было 40% меди?

7. имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля в 5% и 40%. Сколько нужно взять каждого из этих сортов, чтобы получить 140 т стали с содержанием никеля в 30%?

8. Сколько чистого спирта надо добавить к 735 г 16%-ного раствора йода в спирте, чтобы получить 10%-ный раствор?

9. Сбербанк начисляет по вкладам ежегодно 110%. Вкладчик внес в сбербанк 150 тыс. руб. Какой будет сумма вклада через 2 года?

10. Площадь прямоугольника равна 100 см². Одна сторона прямоугольника уменьшилась на 16,4%, вторая увеличилась на 25%. Найти площадь нового прямоугольника.

Задачи для самостоятельного решения.

1. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 40%, а в другом 20% серебра. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 20 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 32% серебра?

2. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 20%, а в другом 30% олова. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 10 кг нового сплава, содержащего 27% олова?

3. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 10%, а в другом 20% меди. Сколько нужно взять первого и второго сплавов, чтобы после их сплавления вместе получить 15 кг нового сплава, содержащего 14% меди?

4. Имеется 2 сплава, в одном из которых содержится 30%, а в другом 50% золота. Cколько кг второго сплава нужно добавить к 10 кг первого, чтобы после сплавления вместе получить сплав, содержащий 42% серебра?

5. Сплав золота и серебра содержит 20% золота. Какую массу сплава и какую массу чистого золота нужно взять для получения 80 кг нового сплава, содержащего 50% золота?

6. Кусок железа с медью массой в 30 кг содержит 45% железа. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный новый сплав содержал 30% железа.

7. Сплав олова и свинца содержит 40% олова. Какую массу сплава и какую массу чистого свинца нужно взять для получения 40 кг нового сплава, содержащего 10% олова?

Ответы

Расчетные задания.

1. 11,76
2. 76,25
3. 10,94%
4. 1290
5. 7
6. 1,5
7. 40; 100
8. 441
9. 661500
10. 104,5.

Самостоятельное решение.

1. 13 1/3.
2. 3; 7.
3. 9; 6.
4. 15.
5. 50; 30.
6. 15.
7. 10; 30.